هانري پوانکاره » در مورد زيبايي رياضيات اين گونه مي گويد :

« دانشمند ، طبيعت را به خاطر فايده اش مطالعه نمي کند، آن را براي اين مطالعه مي کند که از آن لذت مي برد و چون طبيعت زيباست از آن لذت مي برد .

اگر طبيعت زيبا نبود، ارزش شناختن نداشت و اگر طبيعت ارزش شناختن نداشت، زندگي هم ارزش زيستن نداشت. البته، من در اينجا از آن گونه زيبايي که حواس

را متأثر مي کند، يعني از زيبايي اوصاف و ظواهر، سخن نمي گويم؛ نه به اين

جهت که اين زيبايي ها را دست کم بگيرم، نه چنين نيست، اما اين زيبايي ربطي

به علوم ندارد، منظورم زيبايي ژرف تري است که از نظم هماهنگ اجزا به وجود

مي آيد و تنها هوش ناب قادر به درک آن است. »

« برتراند راسل » نيز زيبايي رياضيات را اين گونه به رخ مي کشد:

« رياضيات هيچ حقيقتي ندارد اما بالاترين زيبايي را داراست. يک زيبايي سرد و

جدي، درست مانند يک تنديس، به طور شگفت انگيزي محض، و توانا در نهايت

جديت، به طوري که تنها بزرگترينِ هنرمندان مي توانند اين گونه باشند. »

همه ما اين را شنيده‌ايم و بسياري از ما معتقد به اين هستيم كه دخترها در رياضي به اندازه پسرها خوب نيستند. اما آيا اين درست است؟ مطالعات نشان مي‌دهد كه اينطور نيست و تفاوت جنسيتي در عملكرد رياضي وجود ندارد. والدين و معلمان بايد افكار خود در اين زمينه را اصلاح كنند.

اگرچه دختران در دروس رياضي دبيرستان به اندازه پسران پيشرفت دارند، و زنان 48 درصد مدارك ليسانس رياضي را به خود اختصاص مي‌دهند، اين فكر كليشه‌اي كه دخترها در رياضي مشكل دارند هنوز ادامه دارد. نه تنها بسياري از والدين و معلمان معتقد به آن هستند، بلكه دانشمندان نيز از آن براي تبيين كمبود رياضيدان، فيزيكدان، و مهندس زن در بالاترين سطوح استفاده مي‌كنند.

چنين باورهاي فرهنگي بسيار نافذ هستند و به سختي مورد سؤال قرار مي‌گيرند. زيرا اگر مادر يا معلم شما فكر كند كه شما در رياضي ضعيف عمل مي‌كنيد، اين مي‌تواند تأثير زيادي بر خود پنداره رياضي شما داشته باشد.

دانشمندان براي بررسي اين مسئله نمرات رياضي امتحانات ايالتي را همراه با مشخصات آماري آزمودني‌ها از جمله جنسيت، سطح تحصيلات، و قوميت در 10 ايالت جمع‌آوري كردند. آن‌ها با استفاده از داده‌هاي به دست آمده از 7 ميليون دانش‌آموز، «اندازه اثر» ـ روش آماري كه ميزان تفاوت بين ميانگين نمرات رياضي دخترها و پسرها را گزارش مي‌كند ـ را محاسبه كردند. اندازه اثر به دست آمده از 01/0 تا 06/0 يعني تقريباً برابر با صفر بود كه حاكي از آن است كه ميانگين نمرات دخترها و پسرها يكسان است. در برخي ايالت‌ها پسرها كمي بهتر بودند و در برخي ديگر دخترها. اما در ميانگين آن‌ها تفاوتي وجود نداشت.

اما، برخي منتقدان استدلال مي‌كنند كه اگرچه عملكرد متوسط برابر است، تفاوت جنسيتي ممكن است همچنان در بالاترين سطوح توانايي رياضيات وجود داشته باشد. دانشمندان براي بررسي اين مسئله تغييرپذيري نمرات رياضي در دخترها را مقايسه كردند. بازهم نتايج تفاوت ناچيزي را آشكار نمودند.

کاربردی از هندسه فراکتال

بلز پاسکال

«این جمله که "هر چیزی قطعیت ندارد "، خودش فاقد قطعیت است.»

یکی از کاربردهای فراکتال در مکانیک سیالات و شیمی است من یادمه موقعی که پدرم توی شرکت می خواست رنگدانه های جدید رو برای یک کار خاص آماده کنه از همین روش های فیزیکی یعنی استفاده از آسیاب هایی که داخل استوانه آن ساچمه های شیشه ای (برای رنگ های روشن ) و ساچمه فلزی ( برای رنگ های تیره)  داشت استفاده می کرد و سپس با تست های مخصوصی که عبارت بود از کشیدن رنگ بر روی یک صفحه خاص به دانه هایی با مقیاس مشخص می رسید البته روش هایی هم برای ضخامت سنجی خشک وجود دارد مثلا استفاده از ضخامت سنج دیجیتال ، ضخامت لایه رنگی به نوع رزین و عوامل دیگری هم بستگی دارد در هر صورت برای رسیدن به کیفیتی خاص  به این گونه روش های مقیاس بندی از 300  میکرون تا زیر 30 میکرون نیاز بود ولی طبیعتاً زمانی به نتیجه مطلوب و کنترل شده می رسیم که عمق دقت ابزاری و دقت روش استفاده شده بالا رود. کاربرد خاصی از هندسه فراکتال که در زیر مطرح می شود در همین راستا می باشد یعنی بالا بردن دقت و کنترل و نیز در کاهش استفاده از حلال ها و روان سازهایی که برای توزیع سنتی یک ماده به کمک سیال نیاز است.

 تعدادی از این کاربرد ها به صورت زیر است :
کروماتوگرافى(جدا کردن عناصر رنگى از هم) سیال های دوفازی یا تک فازی ، تبادل یونی ، جذب از سطح ، تقطیر ، هوادهی به مایعات ، جدا سازی ناخالصی ها از گاز ها ، استخراج ، ته نشین سازی و تصفیه ، مخلوط کردن و  عملیات راکتور ها .

مقیاس بندی ذرات سیال و پخش آن از ملزومات کار با سیالات(مخلوطی از ذرات و حلال) است که در روند انجام عمل مخلوط سازی و اصلاح هندسی سیال به کار می رود. فراکتال ها به لحاظ ساختاری دارای مقیاس بندی عمیقی هستند و همین خاصیت آنها را مخاطب مسائل مشخصی می نماید ، مثلا در یکنواخت سازی سیال و روند افزایش مقیاس به طریقی که هدایت شده و منطقی  باشد. در موارد مشخصی می توان یک فراکتال مهندسی شده و کارآمد را جایگزین آشفتگی روش های قبلی کرد. با استفاده از این فراکتال های مهندسی شده سرشت اتفاقی بودن " آبشار جریان آشفته " با هم آراستگی و یکدستی جایگزین می شود.این روش سبب کاهش مصرف انرژی  ، کاهش در حجم مراحل انجام کار و همچنین واکنش یکنواخت می شود.
به طور کلی می توان گفت فراکتال های مهندسی شده کنترل دقیقی بر روند مقیاس بندی و توزیع سیال ایجاد می کنند طوریکه کیفیت کار با سیالات بالا می رود.

نمونه ها :

در ادامه مطلب نمونه هایی از این فراکتال ها ارائه می شود

فراکتال توزیع که در موارد گوناگون  توزیع و جمع آوری سیال بطور یکنواخت کاربرد دارد، اندازه این وسیله از چند سانتیمتر تا بالای 6 متر تغییر میکند و در فرآیند های چند فازی شامل گازها ، آب و حلال های ارگانیک ، اسید های غلیظ و سایر محیط های خورنده فلزات کاربرد دارد.

این وسیله بر پایه تکنولوژی چند فراکتالی ساخته شده و به طور کلی برای مقیاس بندی و توزیع دو سیال یا بیشتر به طور همزمان کاربرد دارد. این وسیله با انژری کم کار می کند و گرداب های غیر یکنواخت را حذف میکند و همچنین دارای واکنش آنی به تغییرات فرآیندی است.(اینرسی فرآیندی پایین)

تصویر بالا هم  برای توزیع و جمع آوری مایعات در حجم به کار میرود تصاویر پایین متعلق به نمونه های اصلی است از فراکتال ها برای چگالی های متفاوت و در اندازه ای متفاوت است.تصویر آخری هم نمونه ای از فراکتال های حجمی با بعد نا صحیح ( 2.32) است .بعد یک فراکتال بر ویژگی فضا پر کنی آن تاثیر دارد.

فراكتال‌ها

  همه شما حتي اگر از هندسه نيز چيزي ندانيد بارها نام آن را شنيده ايد. و حتماً مي دانيد كه «جبر، حساب و هندسه» سه شاخه مهم از رياضيات است، همين سه عنوان در رياضيات پايه گذار پيشرفت در تمام علوم محسوب مي شوند.

   شايد همين حس مسئوليتي كه رياضيات به تمام بخش هاي علوم دارد آن را بسيار جدي و در نظر بسياري، علمي خشك و در عين حال سخت جلوه داده است. در اين ميان هندسه نقش بسيار مهمي را حتي در شاخه هاي رياضي برعهده دارد. هندسه كه مي توان به آن علم بازي با اشكال لقب داد، خود پايه گذار ديگر شاخه هاي رياضي است. زيرا تمام قسمت هاي ديگر در رياضيات و علوم ديگر تا به صورت مشهودي قابل بررسي دقيق و اصولي نباشد جاي پيشرفت چشمگيري براي آنها نمي توان درنظر گرفت. با اين اوصاف، شايسته است به هندسه لقب «مادر بزرگ علوم» دهيم.شايد اگر زماني كه حوزه اطلاعاتمان از اعداد تنها به مجموعه اعداد طبيعي منتهي مي شدو معلم درس رياضيات از ما مي خواست تا ضلع سوم مثلث قائم الزاويه اي را كه طول هر ضلعش يك سانتي متر است اندازه بگيريم نمي توانستيم عددي را با چنين ويژگي بيابيم .سال ها پيش اقليدس با حل مسئله اي نظير اين (محاسبه قطر مربعي كه هر ضلعش 1 واحد بود)، سلسله اعداد جديدي را به مجموعه هاي شناخته شده اضافه كرد كه يكي از شاهكارهاي بي نظير در پيشرفت رياضيات و البته علوم بود. بله اين عدد عجيب و غريب «راديكال 2» بود.

   عموم تحصيلكردگان با هندسه اقليدسي آشنا هستند. زيرا دست كم در طول دوران تحصيل خود به اجبار هم كه بوده در كتاب هاي درسي با اين هندسه كه اصول آن بر مبناي اندازه گيري است آشنا شده اند. اما هندسه اقليدسي تنها به بررسي اشكال كلاسيك موجود در طبيعت مي پردازد. در اين هندسه اشكال و توابع ناهموار، آشفته و غير كلاسيك به بهانه اينكه مهار ناپذيرند، جايي نداشتند.

   بالاخره در سال 1994، طلسم يكي از تئوري هاي رياضي كه از سال1897، عنوان شده بود، شكست و «مندلبرات(1)» رياضيدان لهستاني، پايه گذار هندسه جديدي  شد كه به آن هندسه بدون اندازه يا هندسه فركتالي گويند. هندسه بدون اندازه يكي از شاخه هاي جديد رياضيات است كه در برابر تفسير و شبيه سازي اشكال مختلف طبيعت از خود انعطاف و قابليت بي نظير نشان داده است. با به كارگيري هندسه فركتالي، افق روشني پيش روي رياضيدانان و محققان در زمينه بازگو كردن رفتار توابع و مجموعه هاي به ظاهر ناهموار و پر آشوب قرار گرفت.

   واژه فركتال به معناي سنگي است كه به شكل نامنظم شكسته شده باشد. در اين هندسه اشكالي مورد بررسي قرار مي گيرند كه بسيار نامنظم به نظر مي رسند. اما اگر با دقت به شكل نگاه كنيم متوجه مي شويم كه تكه هاي كوچك آن كم و بيش شبيه به كل شكل هستند به عبارتي جزء در اين اشكال، نماينده اي از كل است. به چنين اشكالي نام «خود متشابه» نيز مي دهند.

   اشكال فركتالي چنان با زندگي روزمره ما گره خورده كه تعجب آور است. با كمي دقت به اطراف خودتان، مي توانيد بسياري از اين اشكال را بيابيد. از گل فرش زير پاي شما و گل كلم درون مغازه هاي ميوه فروشي گرفته تا شكل كوه ها، ابرها، دانه برف و باران، شكل ريشه، تنه و برگ درختان و بالاخره شكل سرخس ها، سياهرگ و شش و...همه اينها نمونه هايي از اشكال فركتالي اند.

اين  موجودات به عنوان اصلي ترين بازيگران هندسه منتج از نظريه آشوب شناخته مي شوند.

   اين هندسه ويژگي هاي منحصر به فردي دارد، که مي تواند توجيه گر بسياري از رويدادهاي جهان اطراف ما باشد، اما ويژگي اصلي که در تعريف آشوب و بالطبع هندسه آن وجود دارد، باعث مي شود ما استفاده ويژه اي از اين سيستم ببريم.

   اين روزها از فراکتالها به عنوان يکي از ابزارهاي مهم در گرافيک رايانه اي نام مي برند، اما هنگام پيدايش اين مفهوم جديد بيشترين نقش را در فشرده سازي فايلهاي تصويري بازي کردند.

براي آن که درک بهتري نسبت به فراکتالها داشته باشيم ، بد نيست نگاه مختصري به آشوبي بيندازيم ، که فراکتال ها فضاي هندسي آنها را تعريف مي کند.

تعريف آشوب

   فصل مشترک تعاريفي که براي مفهوم آشوب ارائه شده است ، تاکيد بر اين نکته است که آشوب دانش بررسي رفتار سيستم هايي است که اگرچه ورودي آنها قابل تعيين واندازه گيري است ، اما خروجي اين سيستم ها ظاهري کتره اي و تصادفي دارد.

   شايد به همين دليل بود که استوارت رياضيدان برجسته اين موضوع را مفهومي احتمالاتي مي دانست ، اما چيزي نگذشت که وي تعريف خود را اصلاح کرد و به تعريفي رسيد که تقريبا مورد تاييد عمومي قرار دارد.

بر اساس اين تعريف ، آشوب به توانايي يک الگو و مدل ساده گفته مي شود که اگرچه خود اين الگو هيچ نشاني از پديده هاي تصادفي در خود ندارد، اما مي تواند منجر به ظهور رفتارهاي بسيار بي قاعده در محيط شود.

   براي مثال ، يک دنباله رياضي از اعداد را در نظر بگيريد که براي توضيح يک پديده مشخص وضع شده است.

   اگرچه آشوب نظريه اي است که بر موضوعات گوناگون اجتماعي و سياسي و اقتصادي نظر دارد، اما نيازمند زباني براي تصوير سازي مفاهيم خود بود و اين عرصه اي بود که هندسه آشوب يا فراکتالها خلق کردند.

   ما در هندسه آشوب با تصاوير متفاوتي سرو کار داريم ، تصاويري که بزرگترين خصوصيات آنها اين است که وقتي رسم آن را آغاز مي کنيم ، نمي دانيم در نهايت با چه پديده اي روبه رو خواهيم شد و از سوي ديگر بازخورد در آن نقش اساسي دارد. بياييد يک فرمول کلي را اجرا کنيم. يک مثلث متساوي الاضلاع رسم کنيد.

حال ميانه 3ضلع را مشخص کرده و از رسم آنها به هم مثلث متساوي الساقين جديدي به دست آوريد. همين بلا را بر سر 3مثلث تشکيل شده بيروني بکنيد و اين روند را تا آنجا که مي توانيد ادامه دهيد. شما با استفاده از يک رابطه ساده - که تقسيم اضلاع مثلث به نصف و اتصال آنها به هم بود - و با تکرار آن موفق به رسم نقشه يک ساختار فراکتالي شده ايد.

   چنان اشکالي اجزاي سازنده هندسه جدي فراکتالي هستند؛ هندسه اي که به قول يکي از خالقان آن ، يعني مندلبرات ابزاري را براي ديدن بي نهايت در اختيار ما قرار مي دهد.اين اشکال يک مشخصه بسيار عمده دارند. کل شکل از اجزايي مشابه شکل اول تشکيل شده است.

   در مثال خودمان مثلث بزرگ از مجموعه اي مثلثهاي همسان به وجود آمده است. اين يکي از خصوصيات زيباي فراکتالهاست که همزمان از سوي طبيعت و فناوري به کار گرفته شده است.

   اگر تا به حال به يک برگ سرخس نگاه کرده باشيد، مي توانيد متوجه تشابه اجزاي مختلف آن شويد. ساختار کل ساقه همانند يک برگ و ساختار يک برگ همانند يک جزو کوچک آن است.

   اگر فرصت کرديد نگاهي هم به سواحل درياها يا تصاوير هوايي کوهستان ها و گياهان اطرافتان بيندازيد، بسرعت درخواهيد يافت که در جهاني آشوب زده احاطه شده ايد.

   با استفاده از فركتال ها به راحتي مي توان نوار قلب بيماران را تفسير كرد و حتي احتمال بروز حمله قلبي در آنها را حدس زد و از آن جلوگيري كرد.ممكن است روزي فركتال ها در فهميدن چگونگي كار مغز يا ارگانيسم بدن بسيار كارآ و مؤثر واقع شوند. پيدا كردن پيوندهاي بين علم و زندگي، آن رويي از سكه است كه متاسفانه در كشور ما اصلاً به آن توجهي نمي شود. در صورتي كه پيدا كردن و بيان اين پيوندها مي تواند تاثيرات بسياري بر پيشرفت علوم و عمومي كردن آن داشته باشد.

 اگر هنوز از اين موجودات ساده و در عين حال پيچيده هيجان زده نشده ايد، اين نکته را هم بشنويد.اين اجسام نه يک بعدي اند، نه دو بعدي و نه سه بعدي.

   اين ها ابعادي کسري دارند؟ فراکتالها دقيقا به دليل همين خاصيت ويژه اي که دارند، زماني توانستند روشي براي ذخيره سازي تصاوير ارائه دهند. معمولا زماني که يک تصوير گرافيکي قرار است به شکل يک فايل تصويري ذخيره شود، بايد مشخصات هرنقطه از آن (شامل محل قرار گيري پيکسل و رنگ آن به صورت داده هايي عدي ذخيره شود و زماني که يک مرور گر بخواهد اين فايل را براي شما به تصوير بکشد و نمايش دهد، بايد بتواند اين کدهاي عدي را به ويژگيهاي گرافيکي تبديل کند و آن را به نمايش بگذارد. مشکلي که در اين کار وجود دارد، حجم بالايي از داده ها ست که بايد از سوي نرم افزار ضبط کننده و توليد کننده بررسي شود.

اگر بخواهيم تصوير نهايي ما کيفيتي عالي داشته باشد،نيازمند آنيم که اطلاعات هريک از نقاط تشکيل دهنده تصاوير را با دقت بالايي مشخص و ثبت کنيم و اين حجم بسيار بالايي از حافظه را به خود اختصاص مي دهد، به همين دليل ، روشهايي براي فشرده سازي تصوير ارائه مي شود.

   اگر نگاهي به فايلهايي که با پسوندهاي مختلف ضبط شده اند، بيندازيد متوجه تفاوت فاحش حجم آنها مي شويد. برخي از اين فرمتها با پذيرفتن افت کيفيت بين تصوير توليدي و آنچه آنها ذخيره مي کنند، عملا اين امکان را در اختيار مردم قرار مي دهند، که بتوانند فايلها و تصاوير خود را روي فلاپي ها و با حجم کمتر ذخيره کنند يا روي اينترنت قرار دهند.

   براي اين فشرده سازي از روشهاي مختفي استفاده مي شود. درواقع در اين فشرده سازي ها بر اساس برخي الگوريتم هاي کار آمد سعي مي شود به جاي ضبط تمام داده هاي يک پيکسل مشخصات اساسي از يک ناحيه ذخيره شود، که هنگام باز سازي تصوير نقشي اساسي تر را ايفا مي کنند.

   در اينجاست که روش فراکتالي اهميت خود را نشان مي داد. در يکي از روشهايي که در اين باره مطرح شد و با استقبال بسيار خوبي از سوي طراحان مواجه شد، روش استفاده از خاصيت الگوهاي فراکتالي بود. در اين روش از اين ويژگي اصلي فراکتالها استفاده مي شد که جزيي از يک تصوير در کل آن تکرار مي شود.براي درک بهتر به يک مثال نگاهي بيندازيم. فرض کنيد تصويري از يک برگ سرخس تهيه کرده ايد و قصد ذخيره کردن آن را داريد.

   همان طور که قبلا هم اشاره شد، اين برگ ساختاري کاملا فراکتالي دارد؛ يعني اجزاي کوچک تشکيل دهنده در ساختار بزرگ تکرار مي شود.

   بخشي از يک برگ کوچک ،برگ را مي سازد و کنار هم قرار گرفتن برگها ساقه اصلي را تشکيل مي دهد. اگر بخواهيم تصوير اين برگ را به روش عادي ذخيره کنيم ، بايد مشخصات ميليون ها نقطه اين برگ را دانه به دانه ثبت کنيم ، اما راه ديگري هم وجود دارد. بياييد و مشخصات تنها يکي از دانه هاي اصلي را ضبط کنيد. در اين هنگام با اضافه کردن چند عملگر رياضي ساده بقيه برگ را مي توانيد توليد کنيد.

   در واقع ، با در اختيار داشتن اين بلوک ساختماني و اعمال عملگرهايي چون دوران حول محورهاي مختلف ، بزرگ کردن يا کوچک کردن و انتقال مي توان حجم تصوير ذخيره شده را به طور قابل توجهي کاهش داد.

در اين روش نرم افزار نمايشگر شما هنگامي که مي خواهد تصوير را بازسازي کند، بايد ابتدا بلوک کوچک را شبيه سازي کرده ، سپس عملگرهاي رياضي را روي آن اعمال کند، تا نتيجه نهايي حاصل شود.

به نظر مي رسد اين روش مي تواند حجم نهايي را به شکل قابل ملاحظه اي کاهش دهد، اما تنها يک مشکل کوچک وجود دارد و آن هم اين نکته است که همه اشياي اطراف ما برگ سرخس نيستند و بنابراين الگوهاي تکرار در آنها هميشه اينقدر آشکار نيست.

   بنابراين بايد روشي بتواند الگوهاي فراکتالي حاضر در يک تصوير را شناسايي کنند و در صورت امکان آن را اعمال کند. به همين دليل ، معمولا روش فراکتالي با روشهاي فشرده سازي ديگر همزمان به کار برده مي شود؛ يعني اگر الگوهاي تکرار چندان پررنگ نبودند، بازهم فشرده سازي امکانپذير باشدالبته زياد نگران ناکارامدي اين روش نباشيد. يادتان نرود، شما در جهاني زندگي مي کنيد که براساس يافته جديد ساختاري آشوبناک دارد.

مطمئن باشيد هندسه فراکتال بر بسياري از اشکال عالم حاکم است ؛ حتي اگر در نگاه اول چندان آشکا ر نباشد.

شما نيز با دقت بيشتر به اطرافتان و يافتن ارتباط هاي ملموس بين رياضي و زندگي مي توانيد از سختي و به اصطلاح خشك بودن رياضي بكاهيد.

                                      ***************************

(1): تئوريسين فرکتالها

   مندلبورت در کالج نيوتن کمبريج بنوت مندلبورت  در سال 1924 در لهستان بدنيا آمد. پدر او دستفروش لباس هاي دست دوم بود و مادرش پزشکي مي کرد. او مباني رياضيات را از دو عموي خود فرا گرفت و به همراه خانواده خود در سال 1936 به فرانسه مهاجرت کرد. در آنجا با کمک يکي ديگر از عموهايش که پروفسور رياضيات بود اقامت فرانسه را گرفتند.

  اين مهاجرت باعث شد تا وي بيشتر به رياضيات علاقمند شود اما جنگ جهاني دوم شروع شده بود و مندلبورت هراس اين را داشت که نتواند به رياضايات بپردازد. در باره او مي گويند :

"جنگ، تنگدستي و نياز به زندگي او را از مدرسه و تحصيل دور کرد و به همين دليل بود که او را حد اکثر يک معلم دبيرستاني خودآموز خوب مي دانستند."

  عدم تحصيل دانشگاهي براي او يک مزيت بود چرا که او ديگر به پديده هاي هستي به چشم يک رياضيدان يا دانشمند آکادميک نمي نگريست، اين طرز آموزش همچنين به وي فرصت داد تا روشهاي بسيار جالبي براي استفاده از هندسه در رياضيات ابداع کند. نبوغ ذاتي او در هندسه باعث شد تا بتواند بسياري از مسائل رياضي را با روشهاي هندسي حل کند. او در سال 1944 فرصت آنرا يافت تا در امتحانات پلي تکنيک شرکت کند و توانست بسهولت قبول شود و اين سرآغاز تحصيلات جدي وي بود. پس از پايان تحصيلات  به آمريکا رفت و در انستيتوي مطالعات پيشرفته پرينستون مشغول به فعاليت شد.

پس از ده سال دوباره به پاريس بازگشت و شروع به کار براي مرکز ملي تحقيقات علمي فرانسه نمود. طولي نکشيد که ازدواج کرد و دوباره به آمريکا برگشت. و در آنجا با يك شرکت  آغاز به همکاري نمود. وي همواره از اين موضوع صحبت مي کند که دراين شركت  چقدر آزاد است و مي تواند روي هر پروژه اي کار کند و فرصتي که اين شركت در اختيار او قرار داده است  هيچ دانشگاهي نمي تواند به او بدهد.

   تئوري فرکتالها علاوه بر زيبايي خاصي که از ديد رياضي دارد يکي از روشهاي بسيار کاربردي در تفسير و مدلسازي طبيعت مي باشد. آشنايي با فرکتالها به هنرمندان اجازه مي دهد تا آثار هنري بسيار زيبايي را خلق کنند.

• در طول سالیان و از ابتدای حیات بشر ،  انسان همیشه با تحقیق سروکار داشته است . آنچه در اینجا اهمیت دارد آنکه تحقیقی می تواند راهگشا باشد که بر اساس اصول و موازین علمی صورت پذیرد.

• تحقیق در لغت به معنای درست و راست گردانیدن،پیدا کردن ، افتن ياجستجوی حقیقت آورده شده است. تعاریف به عمل آمده از تحقیق و پژوهش فراوانند. تحقیق به روش علمی را مجموعه مقررات و قواعدی دانسته اند که چگونگی جستجو برای افتن حقایق مربوط به پک موضوع را نشان م دهد.در جايی دیگر آن را حقیقت پژوهی ناميده اند و گروهی از دانشمندان اینگونه تحقیق را عملی منظم که در نتیجه آن پاسخ هائی برای سوالات مندرج در موضوع تحقیق بدست خواهد آمد تعریف کرده اند.

• درهرصورت مشخص است که وجه اشتراک در همه این تعاریف جستجوی حقیقت است و حقیقت پک پدیده ذهنی است که با واقعیت ( یعنی وجود عینی ) مطابقت دارد.( هرچند ممکن است این امر در علوم تجربی صحیح باشد لیکن در علوم نظری چنین نیست) به هرحال مانيز در روش تحقیقی که بحث خواهیم کرد بدنبال افتن حقیقت خواهیم بود. به صورت خلاصه منظور ما از روش علمی تحقیق، مجموعه قواعد و رويه ای است که محقق برای جمع آموری حقایق و واقعیت ها دنبال می کند تا سپس آنها را تفسیر ، تبین و اثبات نماید.

• جان ديوئی معتقد است:" اولين مرحله تحقيق احساس وجود يک مشکل  است؛ به اين معنی که پژوهشگر در کار خويش با مانع يا مشکلی روبرو گرديده است که در حل آن ابهام يا ترديد دارد و نمی تواند در مقابل آن ساکت بماند." بنابراين اين نقطه آغازين در انجام هرگونه پژوهش يا تحقيقی بسيار مهم است و نقش آموزش افراد برای مسئله يابی که در برخی نظام های آموزش و پرورش برآن بسيار تاکيد می شود نيز از همين امر نشات می گيرد. هرچه ضرورت پرسش در هنگام تدريس برای فراگير بيشتر مطرح شود و از او خواسته شود تا ذهن خود را برای طرح سوالات بيشتر فعال سازد می توان انتظار داشت که در آينده نياز به تحقيق و پيشرفت در او ارتقا يابد. (مثال)

• اولين مرحله از تقسيم بندی تحقيق را می توان منوط به هدف از انجام تحقيق دانست.بدين صورت که آيا هدف از انجام تحقيق علائق علمی محقق است يا احتياجان عملی . بدين شکل که محقق برای موشکافی در تجربيات خود و ديگران ، کنجکاوی های علمی ويا الهامات وفرضيات علمی محض بنبال اجرای تحقيق است و يا اينکه هدف کسب اطلاعاتی است که بتواند مشکل يا مسئله فوری را حل نموده ويا زمينه را برای تصميمم گيری در مورد يک موضوع يا مسئله خاص فراهم نمايد. چنانچه هدف اول مد نظر باشد با تحقيق بنيادی يا Basic Research روبرو هستيم که در تعريف آن گفته ميشود: " تحقيقی است که برای گسترش و بسط دانش يا علوم پايه در يک نظام و بخاطر فهم آن طرحريزی می شود.ممکن است همه يا بخشی از اين دانش در آينده کاربد داشته باظد ولی معمولا خود محقق در کاربرد نقشی ندارد." اکا چنانچه تحقيق برای هدف دوم انجام شود آنرا تحقيق کاربردی يا Applied Research می نامند و در تعريف آن گفته می شود: " اين نوع تحقيق برروی يافتن راه خل مسائل فوری با ماهيت عملی متمرکز می شود و بنابراين اين تحقيقات جنبه عملی داشته و معمولاخود محققين درکاربرد نتايج دخيل می باشند."

• بديهی است تقسيم بندی های متعدد ديگری برای روش های تحقيق وجو دارد که در ادامه مباحث  مورد بررسی و بحث قرار خواهد گرفت.

• آنچه در اين مقدمه اهميت دارد آنکه تخقيق از ديرباز با آدمی همراه بوده است و در طول تاريخ به شيوه ها و روش های مختلفی آنرا انجام داده است . چنانچه انسان با تحقيق آشنا نمی شد و و اقدام به انجام آن نمی کرد آيا دانش و علم انسان تا بدين پايه امروزی بود ، مسلما پاسخ منفی است ( من هميشه در کلاسهای خود برای دانشجويان اين جمله را ياد آوری می کنم که چنانچه دانشجو به اندازه استادش بداند هيچگاه نبايد توقع پيشرفت علم را داشته باشيم و اين واقعيتی است که نگاه به تاريخ علم و پيشينيان آنرا برای ما بيشتر مشخص خواهد نمود) بنابراين تحقيق هم از ديدگاه فردی و هم از ديدگاه اجتماعی يک ضرورت است و انسانی که جستجو و تحقيق را در زندگی خود نداشته باشد ، تصوری از رشد و تکامل هم برای او نمی توان داشت.علاوه براين ضرورت انجام تحقيق از ديگاه علمی نيز انکار ناپذير است چه "تحقيق را  مايه حيات علم دانسته اند" و بدون انجام تحقيق علم همچون آبی که در حائی ماند باشد دچار گنديدگی و تبديل شدن به لجنزار خواهد شد. 

ويژگي‌هاي يك مدرسه موفق

در طول تاريخ آموزش و پرورش، برنامه‌ريزان مدرسه‌ها و مربيان، در جست‌وجوي شاخص‌ها يا استانداردهاي مدرسه كيفي بوده‌اند.

به ديگر سخن، تاسيس و آماده‌سازي مدرسه‌هاي موفق يا استاندارد، دغدغه هميشگي، همه نظام‌هاي آموزشي بوده است. از اين روست كه تاكنون الگوها و تلاش‌هاي گوناگوني براي نشان‌دادن مدرسه استاندارد عرضه شده است. در اين مقاله، ابتدا در مقدمه‌اي، ضرورت طراحي مدرسه‌هاي موفق، كيفي يا استاندارد مطرح خواهد شد. سپس الگويي از مدرسه‌هاي استاندارد و موفق ارائه شده و شاخص‌هاي مهم موجود در زمينه اين مدرسه‌ها مورد بحث قرار خواهد گرفت. در پايان نيز، راهكارهايي در ابعاد گوناگون، با توجه به شرايط و كاركردهاي آموزش و پرورش و مدرسه‌هاي كشورمان ارائه خواهد شد.

اگر بخواهيم در نظام آموزشي كشورمان، مصداقي از آموزش و پرورش بهينه، هدف‌دار و مطلوب را در حكم آموزشگاه‌هاي گواه نشان دهيم، با مشكل مواجه خواهيم شد. اگر كسي از متوليان تعليم و تربيت كشور، اعم از صاحب‌نظران دانشگاهي و مجريان، بخواهد آن حرف و حديثي را كه از تكنولوژي آموزشي، راهبردهاي ياددهي- يادگيري، نظام ارزشيابي‌ هدفمند و بهينه، اجراي طراحي آموزشي و ديدگاه‌هاي متفاوت درباره روان‌شناسي يادگيري، برنامه‌ريزي درسي و ده‌ها مقوله ديگر در سمينارها،  جلسات و نشست‌هاي متعدد بيان مي‌‌كنند، به عينه و در واقعيت عملي مدارس، نمايان سازند، واقعاً حرف زيادي براي گفتن نخواهند داشت. اگر يك مدير علاقه‌مند،  يك معلم دلسوز، يك پژوهشگر تعليم و تربيت و در يك كلام، يك انسان فرهيخته يا حتي ولي يك دانش‌آموز، از دست‌اندركاران تعليم و تربيت كشور بخواهد آموزشگاه فاضله، استاندارد و آرماني يا حتي مدرسه‌اي را كه در راه فاضله‌شدن و حركت به سوي آرمان‌گرايي در تعليم و تربيت گام برداشته است، به او معرفي كنند، به طور قطع آنان براي تحقق اين امر، با مشكل زيادي مواجه خواهند شد. با آن كه در حال حاضر، برخي مدارس در بعضي زمينه‌ها موفقيت‌هاي  برجسته‌اي از خود نشان مي‌دهند، ولي اين موفقيت‌ها موردي و در يك زمينه يا زمينه‌هاي خاص است، نه به صورت جامع و نظام‌گرا. مثلاً اگر مدرسه‌اي در امور آموزشي به قبولي صددرصد نايل مي‌شود، با كمال تاسف مشاهده مي‌كنيم كه در اين قبولي مطلوب (البته از نظر كمي و بدون توجه به كيفيت دانش و مهارت قبول شدگان)، توجه به مسائل پرورشي و تقويت بعد معنوي و اخلاقي فراگيرندگان به فراموشي سپرده شده است، يا اگر در مدرسه‌اي نظم و انضباط خاصي در امور اداري مشاهده مي‌شود، خبري از آموزش با كيفيت نمي‌بينيم و حتي اكثريت قريب به اتفاق معلمان آن مدرسه از الگوهاي جديد يادگيري بي‌خبرند. به عبارت ديگر، شايد هم‌اكنون به ندرت بتوانيم يك آموزشگاه استاندارد و آرماني در نظام آموزشي كشورمان معرفي كنيم كه تمام مؤلفه‌هاي علوم تربيتي در آن به درستي رعايت شده باشد.
هم‌اكنون در كشورهاي توسعه‌يافته، علاوه بر پيشرفت عمومي اكثر مدرسه‌ها، دانشگاههاي علوم تربيتي يا تربيت معلم، مدارس وابسته‌اي تاسيس مي‌كنند كه در آن‌ها، دانش علوم تربيتي به مرحله عملياتي نزديك مي‌شود و در واقع، بستر اجرايي روشني براي ديدگاه‌هاي نظري پديد مي‌آيد. به عنوان مثال در حال حاضر، تمام دانشجويان رشته‌هاي تربيت دبيري و مراكز تربيت معلم كشورمان در دوران تحصيل عالي خود، دست كم با دو مفهوم تفاوت‌هاي فردي فراگيرندگان و تدوين متون آموزش برنامه‌اي به صورت نظري آشنا مي‌شوند، ولي در عمل و در كار درون كلاسي با دانش‌آموزان، چون الگوهاي عملي اين دو مقوله را، كه از چهل سال پيش در كشورهاي توسعه‌‌يافته پديد آمده و در سال‌هاي اخير گسترش پيدا كرده است، دركنار خود نمي‌يابند، به‌راحتي اين مفاهيم را كنار مي‌گذارند و آموزش به شيوه‌‌هاي سنتي را بهترين روش در كار ياددهي- يادگيري به شمار مي‌آورند. بنابراين، مدارس استاندارد و حتي وابسته به دانشگاه‌هاي علوم تربيتي، الگويي تمام‌نما براي كساني است كه بخواهند مدرسه خود را به حد مطلوب ارتقا دهند.
در حال حاضر، علاوه بر دانشگاه‌هاي علوم تربيتي، در كشورهايي كه از نظام‌هاي آموزشي نظام‌گرا و هدفمند برخوردارند، وزارت آموزش و پرورش، اداره‌هاي كل، مناطق و نواحي آموزش و پرورش نيز با استفاده از پتانسيل‌هاي محلي موجود و براساس موقعيت و اقتضاي منطقه‌اي، مدارس استاندارد محلي ويژه‌اي تاسيس مي‌كنند و در آن‌ها، لااقل براي رسيدن به هفت هدف زير مي‌كوشند:
* استانداردكردن تدريجي تعليم و تربيت با تاكيد بر مولفه بهبود بخشيدن به كيفيت آموزش و پرورش در مدارس؛
* ايجاد فرصت براي اجرا و اعمال انواع طراحي‌هاي آموزشي و ارائه آن‌ها به ارزشيابي‌هاي متنوع؛
* ايجاد انگيزه براي فعاليت‌هاي گروهي و افزايش روحيه تعاون و مشاركت در دانش‌آموزان، از طريق انعقاد هسته‌‌هاي مطالعاتي و انجمن‌هاي علمي؛
* شناخت مدارهاي توسعه‌يافته در آموزش و پرورش يك مجموعه (مانند منطقه، شهرستان يا حتي كشور) كه ضريب تاثير زيادي دارند؛
* تهيه جامعه آماري و ايجاد بستر اجرايي فعال براي بهينه‌سازي فراگير سامانه تعليم و تربيت؛
* ايجاد رقابت سالم بين آموزشگاه‌ها از طريق ارائه الگوهاي موفقيت‌آميز؛
* كاهش فواصل موجود بين مدارس عادي و ديگر آموزشگاه‌ها.
البته ممكن است برخي، وجود بعضي مدارس خاص غيرانتفاعي را، كه به دانشگاه يا دانشگاه‌هاي ويژه‌اي وابسته هستند، مصداقي براي اين قبيل مدارس به شمار آورند و يا آن كه بعضي مدارس تيزهوشان و آموزشگاه‌هاي نمونه موجود در كشور را نمونه‌هايي از مدارس استاندارد تلقي كنند، ولي بايد پذيرفت اگر چه امكان دارد اين مدارس در زمينه‌هاي خاصي  موفقيت كسب كرده و مطرح شده باشند، ولي نمي‌توان آن‌ها را استاندارد دانست.
حال، با توجه به هفت هدفي كه ذكر شد، ابتدا يكي از الگوهايي را كه در دهه اخير براي تعريف مدرسه استاندارد ارائه شده است، معرفي خواهيم كرد. سپس به برخي راهكارهاي عملياتي يك مدرسه استاندارد بر اساس شرايط و كاركردهاي آموزش و پرورش و مدرسه‌هاي ايران اشاره خواهيم داشت. البته بديهي است كه به رغم اعتقاد به جامع‌نگري و سامانه‌اي ديدن يك مدرسه استاندارد، در اين بخش، فرصت آن نخواهد بود كه همه سازوكارهاي اداري- سازماني، از جمله ثبت‌نام، گزينش معلم و نيز تمام مسايل مرتبط با مدرسه‌هاي استاندارد و بازتاب‌ها و كشتار واكنش‌هاي اجتماعي و محيطي تاسيس و راه‌اندازي اين مدرسه‌ها و چگونگي اداره آن‌ها را تبيين كنيم.

معرفي يك الگو براي شناخت مدرسه استاندارد
الگويي كه در اين جا معرفي مي‌شود، توسط «لاوري» پيشنهاد شده است.
پيش از معرفي الگو، لازم است تعريفي از شاخص و استاندارد ارائه شود.
شاخص: عبارت است از نمودي از عمل يا كاركرد. فرد يا سازمان؛ مانند شاخص رفتار سالم.
استاندارد: عبارت است از مجموعه‌اي از معيارهاي مورد توافق و عيني كه براساس آن مي‌توان درباره شاخص‌ها داوري كرد. مانند استاندارد قضاوت درباره پيشرفت تحصيلي دانش‌آموز.

الگوي لاوري
الگويي كه «لاوري» براي مدرسه استاندارد ارائه داده، داراي يازده عنصر است و براي هر يك از عناصر، شاخص‌هايي هم در نظر گرفته است. مدير و ديگر كاركنان مي‌توانند براساس عناصر و شاخص‌هاي ارائه شده، مدرسه را از نظر استانداردبودن ارزشيابي كنند. ارزشيابان برون مدرسه‌اي هم مي‌توانند از الگوي معرفي شده، به منظور داوري درباره مدرسه استفاده كنند. دريك نگاه كلي، الگوي پيشنهاد لاوري براي مدرسه استاندارد، يازده بخش دارد:
اطلاعات: منظور از اطلاعات، اطلاعاتي است كه مدرسه و نوع خدماتي را كه ارائه مي‌دهد، معرفي مي‌‌كند.
* دانش‌آموزان و والدين با تاريخچه، ساختار و اهداف كلي مدرسه آشنا هستند.
* اطلاعات بنا به درخواست و نياز اشخاص ارائه مي‌شود.
* ارتباط و تماس منظمي با دانش‌آموزان و والدين، خواه كلامي، خواه نوشتاري، وجود دارد.
* سازوكاري براي معرفي نماكار مدرسه وجود دارد.
* همه كاركنان از روش‌ها و ساختارهاي مناسب و شيوه رفتار و طرح‌هاي عملي بهبود مدرسه آگاه‌اند.
* اطلاعات، به زبان روشن و مناسب عرضه مي‌شود.
* اطلاعات به شيوه‌هاي گوناگون عرضه مي‌شود.
* اطلاعات براي اثربخشي بيشتر مورد سنجش قرار مي‌گيرد.
 اعتبار: دراين جا، منظور از اعتبار، عرضه خدمات مورد توافق در زمان مقرر است.
* يك مجموعه روش منظم براي تضمين ثبات در ارائه خدمات وجود دارد. مانند سنجش و گزارش‌دهي، بهداشت و ايمني، شيوه رفتار و...
* توافق صريح و مكتوب بين والدين، دانش‌آموزان و مدرسه وجود دارد.
* پايش يا بازبيني دروني و بيروني و ارزشيابي از خدمات وجود دارد.
* اولياي مدرسه مي‌كوشند از طريق برقراري رابطه با ساير مدارس يا موسسات آموزشي، بر كيفيت خدمات بيفزايند.
* روش خاصي براي ارائه شكايات در نظر گرفته شده است.
* ميزان رضايت دانش‌آموزان و والدين و ديگران به طور منظم مورد توجه قرار مي‌گيرد.
* رهنمودهايي براي پاسخ‌دهي به سئوالات و بررسي پيشنهادها وجود دارد.
قابليت و صحت: منظور از قابليت و صحت، دانش و توانايي و مهارت كاركنان مدرسه براي ارائه خدمات مناسب است.
* كاركنان به طور منظم براي تعيين نيازهاي آموزش و پرورش ارزشيابي مي‌شوند.
* مدير، عملكرد كاركنان را با استفاده از نمونه‌هايي معرف از عملكردهاي آنان، مورد پايش قرار مي‌دهد.
* والدين، دانش‌آموزان و سايرين، كاركنان را به منظور عرضه خدمات مناسب ارزشيابي مي‌كنند.
* اهداف كلي و روش‌هاي عملكرد مدرسه به كاركنان معرفي مي‌گردد.
* كاركنان نسخه‌هايي از اسناد مربوط به شيوه عمل مناسب را دريافت مي‌دارند.
* همه كاركنان فرصت يادگيري به دست مي‌آورند.
* يك ناظر متخصص (معلم راهنما، راهنماي تعليماتي، متخصص موضوع و روش و...) كاركنان را هدايت مي‌كند.
دستيابي اثربخش: منظور از دستيابي اثربخش، دستيابي كاربران (يادگيرندگان) يا والدين و دانش‌آموزان به اطلاعات يا پاسخ‌سئوال‌ها يا درخواست‌هاي مورد نياز است.
* مدرسه نظام دريافت پيشنهاد و انتقاد دارد.
* مدرسه داراي «راهنمايي» است كه نوع خدمات، نحوه پايش و ارزشيابي آن را توصيف مي‌كند.
* همه كاركنان مدرسه، به‌منظور استقبال از پيشنهادها و انتقادهاي كاربران، داراي نگاه مثبت و رفتار ترغيبي‌اند.
* به‌طور مؤكد، از دادن صفات خاص به كاربران مشكل‌دار جلوگيري مي‌شود.
* در مدرسه حتي با يك يادداشت كوتاه كاربران، امكان برگزاري يك نشست حضوري وجود دارد.
* در مدرسه مكان خاصي براي مصاحبه محرمانه وجود دارد.
* متناسب با عملكرد مدرسه، نشاني‌ها و شماره‌هاي تلفن، در دفتر موجود است.
* از ارتباط تلفني والدين، دانش‌آموزان و ديگران استقبال مي‌شود.
جبران اثربخش: جبران اثربخش بر اين نكته تأكيد دارد كه اگر خطايي رخ دهد يا اولياي مدرسه خدمات ناقصي از كاربر دريافت دارند، امكان جبران خطا و كاستي وجود دارد.
* مدرسه داراي نظام دريافت شكايات است.
* مدرسه راهنماي خاص ارائه خدمات، پايش و بازبيني نحوه ارائه خدمات و شيوه ارزشيابي آن را دارد.
* كاربران به بيان مسائل يا دشواري‌هاي خاصي كه با كاركنان دارند، تشويق مي‌شوند.
* بين مدرسه و والدين درباره نوع خدمات و كيفيت آن‌ها توافق وجود دارد.
مسائل ملموس: منظور از مسائل يا امور ملموس، نمود عيني يا فيزيكي خدمات است.
* تعريف فضاي مورد استفاده براي ارائه آموزش و انجام دادن فعاليت‌هاي تكميلي يادگيري، با مقاصد متناسب است.
* منابع و تجهيزات با مقاصد تعريف شده متناسب است.
* همه كاركنان در مورد اهميت مسائل ارائه خدمات، توجيه شده‌اند.
* ارزشيابان خارج از مدرسه به‌طور منظم، فضاي آموزشي و تجهيزات را ارزشيابي مي‌كنند.
* طرحي براي تأمين و تجهيزات مدرسه تدارك ديده شده است.
پاسخ‌گويي: عنصر پاسخ‌گويي، ناظر بر علاقه و توانايي كاركنان براي تدارك خدمات به‌صورت معقول و خلاقانه است.
* بين كاركنان مدرسه، به‌منظور برقراري ارتباط با كاربران، يك شيوه رفتاري معمول و مورد توافق وجود دارد.
* هر كاربر، از ميان كاركنان مدرسه، راهنماي خاصي دارد و فرد موردنظر در بيشتر اوقات براي كاربر قابل دسترسي است.
* در مدرسه، براي كاربران زمان پاسخ‌گويي و برقراري ارتباط موجود است.
* كاركنان، براي درميان گذاشتن مسائل با كاربران، فرصت منظمي در اختيار دارند.
بيمه و ايمني: مراد از بيمه و ايمني، برحذر بودن از خطر و آسيب‌ها و داشتن بيمه است. افزون بر اين، «حق محفوظ ماندن رازها» هم يكي از نكات مهم در بخش بيمه و ايمني است.
* در مدرسه، روش ويژه‌اي براي حفظ بهداشت، سلامت و ايمني وجود دارد.
* فضاها و تجهيزات با مقاصد متناسب‌اند.
* كاربر اطمينان دارد كه كاركنان ايمني و سلامت‌اش را در اولويت قرار مي‌دهند.
* كاربران در برابر سطحي معقول از خطرپذيري در فعاليت‌ها قرار دارند.
* سطوح خاصي از «حق محفوظ ماندن رازها» بين كاربران و كاركنان مدرسه مورد توافق قرار گرفته است.
* اسناد و مواد رايانه‌اي براي كاركنان خاصي در مدرسه قابل دستيابي است.
* كاربران مجاز به ديدن و بررسي اطلاعاتي هستند كه درباره آنها تدارك و ضبط شده است.
همدلي: منظور از همدلي، سطح خاصي از اقدامات مربوط به گوش دادن و شرح مسائل يكايك كاربران است.
* كاركنان براي انجام دادن اقدامات خاص جهت كاربري كه راهنمايي او را به‌عهده گرفته‌اند، ترغيب مي‌شوند.
* در آموزش كاركنان مدرسه، بر دانش و مهارت‌هاي درك نياز و موقعيت كاربران تأكيد مي‌شود.
* كاربران احساس مي‌كنند كه در مدرسه، پشتيبان خاصي دارند.
* كاربران در ارزشيابي كيفيت ارائه خدمات، برداشت‌ها يا نظريات دخالت داده مي‌شوند.
انتخاب و فعاليت: منظور از اين بند، توانايي كاربران در اثرگذاري بر نوع و سطح خدمات تدارك ديده شده است.
* كاربران در فعاليت‌هاي تصميم‌گيري مدرسه دخالت مي‌كنند و در شكل‌دهي تصميمات نقش دارند.
* براي كاربران، امكان انتخاب نوع خاصي از خدمات وجود دارد.
* به كاربران زمينه‌هايي ارائه مي‌شود كه در آن‌ها، براي انتخاب آزادي عمل دارند.
موقعيت كاربر: در اين شاخص، ميزان توجه و احترام به مراجعه‌كننده يا كاربر مورد تأكيد قرار مي‌گيرد.
* ماهيت ارتباط دوسويه بين كاربر و ارائه خدمات از سوي كاركنان و كاربران مورد توجه است.
* به كاربران فرصت اولويت‌بندي براي دسترسي به كاركنان داده مي‌شود.
* قرارداد مكتوبي بين مدرسه و كاربران وجود دارد و در آن، علايق كاربران و شرايط مدرسه درج شده است.
* در آموزش كاركنان مدرسه، به شيوه برآورد نيازهاي كاربران و تحقق حقوق آنان تأكيد مي‌شود.1
مديران مدارس مي‌توانند با درنظر گرفتن مواردي از عناصر يازده‌گانه، به تدارك سياهه برگه وارسي (چك‌ليست) اقدام كنند و براساس آن، نحوه عملكرد مدرسه را مورد ارزشيابي قرار دهند. در صورتي كه 70 تا 80 درصد از شاخص‌هاي ارائه‌شده پوشش داده شود، مي‌توان مدرسه را يك مدرسه استاندارد دانست.
راهكارهاي عملياتي در مدرسه‌هاي كيفي و استاندارد
حال با توجه به الگوي معرفي شده و شرايط آموزش و پرورش و مدرسه‌هاي ايران، ابعاد چهارگانه‌اي را كه مي‌تواند در بخش‌هاي مختلف در مدرسه‌هاي كيفي و استاندارد مورد توجه قرار بگيرد، مورد بحث قرار مي‌دهيم.

بعد تكنولوژي آموزشي
در بحث از تكنولوژي آموزشي، با توجه به توسعه و گستره قابل‌عنايت اين مقوله از علوم تربيتي، توجه به اين مؤلفه‌ها مورد تأكيد است:
* تجهيز مدارس از بعد سخت‌افزاري و نرم‌افزاري (راه‌اندازي آزمايشگاه‌ها و كارگاه‌هاي مجهز در حد كتاب‌هاي درسي، تجهيز مدرسه به نقشه‌ها ، كره‌ها، مدل‌ها، مولاژها و وسايل گوناگون، اورهد، اوپك، فيلم‌هاي آموزشي، اسلايدها، نوارهاي صوتي و هر چيزي كه در بخش سخت‌افزاري و نرم‌افزاري تكنولوژي آموزشي قرار گيرد)؛
* تجهيز مدارس از بعد كتابخانه دانش‌آموزي كارآمد، به‌روز، فعال و مرتبط با مواد آموزشي و درسي؛
* استفاده از الگوهاي متنوع ياددهي – يادگيري در امر آموزش دانش‌آموزان و آشنايي با فنون گوناگون روان‌شناسي يادگيري به‌وسيله معلمان؛
* توجه ويژه به مقوله طراحي آموزشي و استفاده از طرح درس‌هاي مدرن با انواع روش‌هاي موجود و براساس الگوهاي جديد، از جمله ساختن‌گرايي و فراشناخت؛
* استفاده از فنون متنوع ارزشيابي از آموخته‌هاي دانش‌آموزان، طراحي و ارزشيابي سئوال‌هاي امتحاني براساس شيوه هاي رايج، ارزشيابي مستمر و برگزاري امتحانات كوتاه‌زمان (كوئيز) و در يك كلام، از بين بردن نظام رايج امتحان‌گيري محض و غول كردن امتحان با جدا كردن آن از فرايند تعليم و تربيت و يادگيري.
* آموزش معلمان در مناسبت‌هاي گوناگون به‌صورت بازديدهاي علمي – آموزشي، آموزش در شوراي معلمان، اطلاعات ديواري، بروشورها، كارگاه‌هاي آموزشي درون‌مدرسه‌اي و...
* بازديد دانش‌آموزان از مكان‌هاي علمي، هنري، فرهنگي و آشنا كردن فراگيرندگان با جامعه به‌صورت جدي؛
* تغيير نگرش معلمان در زمينه تكليف و تكليف شب و ارائه راهبردهايي براي انفرادي و غني ساختن مجموعه تمرين‌هاي ارائه شده به دانش‌آموزان و متنوع كردن فرآيند تكليف؛
* توجه ويژه به آموزش برنامه‌اي و تهيه و تدوين كتاب‌ها و مجموعه كتاب‌هاي كار آموزشي از سوي معلمان؛
* تشكيل گروه مطالعاتي، تحقيقاتي و تحليل‌گري در بين معلمان براساس تفكر نظام تعليم و تربيت سامانه‌اي و ارائه راهبردهايي در اين زمينه براي چگونگي كار معلمان؛
* راه‌اندازي مراكز يادگيري در مدارس، به‌مثابه اولويت اول در اجرايي كردن تفكر سامانه‌اي تكنولوژي آموزشي در آموزشگاه؛
* تدوين و توليد جزوه‌هاي مواد آموزشي تكميلي در مدرسه، از سوي كادر مدرسه، معلمان و بقيه افراد؛
* كلاس‌بندي درس محور (طبقه‌بندي اتاق‌هاي مدرسه براساس مواد درسي يا مراكز يادگيري كلاسي)؛
* توليد و بهره‌برداري از بسته‌هاي آموزشي هر يك از مواد درسي در حد گسترده و وسيع در درون مدرسه؛
* توجه ويژه به فناوري اطلاعات (IT) به‌عنوان چتر تمامي مباحث تكنولوژي آموزشي؛
* و...

بعد نظام اداري مدرسه
در بعد نظام اداري مدرسه، انتظار مي‌رود مسئولان يك مدرسه استاندارد موارد زير را مدنظر داشته باشند:
* استفاده از روش‌هاي جديد مديريت، از جمله مديريت وقت، مديريت اطلاعات و... در امر اداره مدرسه؛
* راه‌اندازي شوراهاي گوناگون درون‌مدرسه‌اي و توجه ويژه به ستادهاي تربيتي و شوراهاي مدارس؛
* تشكيل جلسات پربار، مستمر، با برنامه و از پيش سازمان‌دهي شده شوراي دبيران و آموزگاران در مدرسه؛
* تشكيل گروه‌هاي آموزشي در بين معلمان (هم‌پايه و هم‌رشته)؛
* مكانيزه كردن نظام‌هاي اداري مدرسه براساس نياز و به‌تدريج و به‌دور از هرگونه تجمل‌گرايي و فارغ از هر نوع توجه اسباب‌بازي‌گونه به نظام‌هاي مكانيزه؛
* استفاده از نظريات دانش‌آموزان، كاركنان و اولياي فراگيرندگان براساس اجراي نظام مديريت مشاركتي از طريق دريافت پيشنهادها و گسترش اين نظام تا سطح مديريت كيفيت فراگير؛
* تقسيم مسئوليت‌هاي داخل مدرسه بين گروه‌هاي دانش‌آموزي و تقويت روحيه تعاون و همكاري در بين دانش‌آموزان؛
* قانونمند كردن مدارس براساس ضوابط و دستورالعمل‌هاي وزارت آموزش و پرورش و جمع‌آوري و تحليل بازخوردهاي ناشي از اجراي دستورالعمل‌ها و انعكاس آنها به مقامات ذي‌صلاح براي اصلاح؛
* استفاده مستمر و برنامه‌دار از اولياي دانش‌آموزان در كليه امور اداري، آموزشي و پرورشي مدرسه با يك برنامه از پيش تعيين‌شده؛
* تدوين و اجراي برنامه يك‌ساله آموزشگاه شامل كليه فعاليت‌هاي اداري، آموزشي و پرورشي. لازم است اين برنامه در تابستان هر سال انتشار يابد؛ البته بعد از اجراي چند برنامه يك‌ساله، مي‌توان در مورد تدوين برنامه‌هاي پنج‌ساله و بيشتر نيز اقدام كرد.
* توجه ويژه به امر كلاس‌بندي بهينه؛
* انجام دادن سريع كليه امور اداري در سطح مدرسه؛
* و...

بعد گروه‌هاي دانش‌آموزي مدرسه (محور دانش‌آموزان)
در بعد دانش‌آموزي مدارس موفق، انتظار مي‌رود لااقل يازده مقوله زير مورد توجه قرار گيرد:
* تشكيل گروه‌هاي مباحثاتي؛
* تشكيل گروه‌هاي مطالعاتي؛
* تشكيل انجمن‌هاي علمي؛
* استفاده از فراگردهاي يادگيري دانش‌آموزمدار و يادگيري مشاركتي در كليه امور اداري، آموزشي و پرورشي مدرسه؛
* آموزش «روش‌هاي مطالعه»، «برنامه‌ريزي درسي و استفاده بهينه از وقت» و «روش‌هاي موفقيت تحصيلي» به دانش‌آموزان؛
* ترتيب بازديدهاي علمي، فرهنگي، مذهبي و اعتقادي مستمر؛
* توجه ويژه به امر تحقيقات دانش‌آموزي و اختصاص بخشي از نمره امتحاني فراگيرندگان به اين امر؛
* ايجاد فرهنگ توجه ويژه به دروس هنر (از ابعاد متفاوت آن، مانند: نقاشي، خط، موسيقي و...) انشا، ورزش و شناخت حرفه‌ها و فنون، و تنظيم برنامه‌هاي متنوع براي اين دروس در سطح مدرسه؛
* انجام دادن مشاوره‌هاي گوناگون تحصيلي، تربيتي و شغلي با دانش‌آموزان و راه‌اندازي نظام مدون هدايت تحصيلي و شغلي در مدرسه براي توزيع مناسب دانش‌آموزان در مشاغل و رشته‌هاي تحصيلي مورد نياز جامعه؛
* آموزش كليه امور اداري مدرسه شامل: «قوانين و مقررات مدرسه»، «آيين‌نامه‌هاي امتحانات، انضباطي و...» و ساير دستورالعمل‌ها و قوانين مرتبط با دانش‌آموزان؛
* ترويج عنصر خلاقيت در سطح دانش‌آموزان، آموزش روشهاي پرورش خلاقيت و تاكيد بر خلاقيت، نوآوري و تفكر دانش‌آموزان به جاي تأكيد برحافظه‌پروري محض (در اين ميان دروس هنر، انشا و علوم پايه ارزش ويژه‌اي مي‌يابند)؛
* و...

بعد نظام پرورشي مدرسه
در بحث نظام پرورشي مدارس استاندارد، آنچه در مدارس كشور ما بايد انجام شود، با آنچه در مدارس برتر ساير كشورها انجام مي‌شود، بايد تا حد زيادي متمايز باشد. در واقع، بحث پرورشي در كشور ما، علاوه بر آن كه با روحيات، خلقيات، تمنيات و نيازهاي فراگيرندگان مرتبط است، به‌طور ويژه‌اي با مباحث مذهبي – اسلامي نيز درآميخته است. بنا بر اين، انتظار مي‌رود كه در مدارس استاندارد، مؤلفه هاي زير موردتوجه قرار گيرد:
* توجه خاص به فرهنگ پربار اسلام و مذهب گران‌سنگ شيعه و تمسك به ائمه معصومين (عليهم‌السلام) و فرهنگ ويژه اهل تسنن در مناطق سني‌نشين در امور عمومي مدرسه به‌صورت جدي و عملي و به‌دور از ظواهر؛
* ترويج فرهنگ قرآن كريم، تشكيل خانه‌هاي نور در مدرسه و آشنا كردن فراگيرندگان با مفاهيم، معاني و مصداق‌هاي عملي قرآن كريم؛
* ترويج فرهنگ نماز در بين دانش‌آموزان و اقامه نماز جماعت به‌منزله محور جدي امور مدرسه به‌صورت يك فعاليت داوطلبانه؛
* توسعه فرهنگ ولايت و رهبري در مدرسه؛
* توسعه فرهنگ امر به معروف و نهي از منكر در حكم يك اصل در ميان دانش‌آموزان؛
* ترويج تربيت سياسي، مذهبي – ديني، هنري و... در ميان فراگيرندگان؛
* ايجاد پيوند و تعميق رابطه عاطفي بين دانش‌آموزان و خاندان عصمت و طهارت(ع) و سيره اهل‌البيت عليهم‌السلام؛
* رشد و توسعه فضايل اخلاقي براساس ايمان به‌خدا و تقوا؛
* برگزاري مسابقات فرهنگي و هنري متنوع در مدرسه و تغيير مكرر در شكل برگزاري آن‌ها، به‌منظور جذب فراگيرندگان؛
* توجه ويژه به تبليغات جذاب، هدف‌دار، به‌روز و بهينه در مدرسه؛
* كيفي كردن فعاليت‌هاي پرورشي و توجه به اهداف پرورشي نظام آموزشي به‌صورت خرد و كيفي كردن هر يك از اهداف؛
* توجه خاص به راه‌اندازي و نيز بهره‌برداري بهينه از تشكل‌هاي دانش‌آموزي براي اداره امور مدرسه؛
و...

پيشنهادها
ارائه چند پيشنهاد، سرانجام اين بخش است:
* پيشنهاد مي‌شود در كنار دانشگاه‌هاي علوم تربيتي، پژوهشكده تعليم و تربيت وزارت آموزش و پرورش، رهبري مدارس استاندارد احتمالي را به‌عهده بگيرد يا براي الگوبرداري مدارس كشور، تبديل چند مدرسه عادي به مدرسه استاندارد را سرپرستي و مديريت كند.
* در انتخاب دانش‌آموز براي مدارس استاندارد، بايد از توزيع عادي هوش، استعداد و توانمندي دانش‌آموزان استفاده و از گزينش يك گروه دانش‌آموز با شرايط خاص براي اين قبيل مدارس خودداري شود.
* مدارس استاندارد با آموزشگاه‌هاي علوم تربيتي يكسان انگاشته نشود و از اجرا كردن طرح‌هايي كه قطعيت نظري آن‌ها به اثبات نرسيده است، خودداري شود.
* كار پيشرفت مدارس استاندارد با مطالعات تطبيقي ويژه و در مقايسه با مدارس استاندارد جهان، به‌صورت نشريات ادواري ويژه در اختيار مدارسي قرار گيرد كه در راه استاندارد شدن گام برداشته‌اند.

1. براي معرفي «الگوي لاوري» در طراحي مدرسه استاندارد، از منابع زير برداشت شده است:
* Gann,N.(1999).Targets for Tomorrow's schools.PA:falmer press.
* دكتر محرم آقازاده، نگاهي به شاخص‌هاي مدرسه استاندارد، مجله رشد مديريت مدرسه، سال دوم، شماره 9، تابستان 1383.

12 و 13 ارديبهشت به ترتيب روز «نقش معلم در آموزش و انديشه مطهر» و «نقش معلم در تهذيب و اخلاق متربي» نامگذاري شده است.

همچنين 14 ارديبهشت روز «نقش معلم در پرورش تفكر خلاق و بصيرت متربي»، 15 ارديبهشت روز «نقش معلم در پژوهش، نوآوري، فناوري و حرفه‌آموزي متربي»، 16 ارديبهشت روز «نقش معلم در اراده‌پروري و مسووليت‌پذيري متربي» و 17 ارديبهشت ماه روز «نقش معلم در سلامت و تربيت بدني و مهارت‌هاي زندگي متربي» نام گرفته است.

روز جمعه 18 ارديبهشت و آخرين روز از هفته گرامي‌داشت مقام معلم نيز به عنوان روز «نقش معلم در اصلاح الگوي مصرف» نامگذاري شده است.

ریاضی و راز

افلاطون در رساله تیمائوس به توصیف جهان طبیعی و فیزیكی می پردازد. در توصیفات افلاطون، آنچه چشمگیر است (و شاید متأثر از فیثاغوریان) میل به ریاضیاتی كردن همه چیز است، به علاوه ارسطو می گوید: افلاطون قائل به این بود كه:
▪صور، اعدادند
▪ اشیاء به سبب بهره مندی از اعداد موجودند.
▪ اعداد مركبند از واحد و «بزرگ و كوچك» و یا «دوی نامتعین» (به جای محدود و نامحدود فیثاغوری)
▪ ریاضیات وضع واسطه ای میان «صور» و اشیاء دارند.
همچنین او قائل بود كه حركات پیچ پیچ اجرام آسمانی با قانون ریاضی مطابق است و نظم در اجسام طبیعی، قابل بیان به نحو ریاضی اند. هرچند گرایش تام و تمام به ریاضی كردن همه چیز را امری ناموفق، ازسوی افلاطون دانسته اند. لكن آنچه در این كوشش برای ما، مهم است، این است كه آیا وی با عقلانی كردن واقعیت و بخصوص طبیعت محسوس، از طریق ریاضیاتی كردن آن، به سوی نوعی ماشین گرایی قدم برنمی دارد؟ عجیب می نماید كه كسی كه درباره عروج به زیبایی مطلقش تحت الهام از ارس در رساله میهمانی سخن می گوید، چنین رأیی را قائل شود. آیا باید بر آن شد كه در تمام رساله های دیگر، سقراط حقیقتاً به عنوان سقراط سخن نگفته است و اكنون در تیمائوس، افلاطون، آرای خود را بیان داشته است؟
آیا انتساب صور به اعداد آنها را از جایگاه رفیعشان به سوی یك دستگاه ماشینی تنزل نمی دهد؟
هرچند به نظر می رسد از سویی با ریاضیاتی شدن جهان طبیعی و جهان مثل و تبدیل آن به جهان قوانین معقول، افلاطون به سوی ماشینی كردن جهان پیش می رود و از سوی دیگر و در مقابل این رأی گفته شده است كه از قضا ریاضیاتی كردن طبیعت، اعتلای آن است. گاهی نیز شاهد این امر كه این اصالت ریاضیات با عروج به زیبایی مطلق ناسازگار نیست، از فیثاغوریان و گرایش همزمان آنان به ریاضیاتی كردن همه چیز و درعین حال عرفان مداری آنان سخن به میان آمده است.۱
ازسوی دیگر می دانیم كه اشكال، اعداد و اسرار مربوط بدانها نزد حكما و عرفای اسلامی جایگاهی ویژه داشته است و محاسبات، مربوط به جداول خاص علوم غریبه نیز مثالی دیگر از این امر می تواند باشد.
آیا در این گونه عقاید و آرا نیز می توان سؤال پیشین را پرسید؟ آیا اینكه اعداد، «اصل» اشیاء و موجودات، پنداشته شوند، می تواند ترس از ماشین شدن طبیعت را در دیدگاه قائلان به قول مذكور برای ما ایجاد نماید؟
پاسخ چنین پرسشی منفی به نظر می رسد. اما تفاوت چنین اصالت ریاضیاتی با اصالت ریاضیات علوم جدید (و به عنوان مثال بسیار ناب آن، اصالت ریاضیات دكارت) چیست؟
دكارت نیز قائل به اصالت ریاضی بود و می خواست كه عالم و آدم را با روابط ریاضی بسنجد و توصیف كند. او در پی تحقق یك «ریاضیات عمومی» بود كه شاید بشود تمام معرفت را با آن توصیف كرد. ۲ اوج هنر دكارت در تلاش برای تبیین ریاضیاتی از جهان را باید در هندسه تحلیلی او جست وجو كرد. هندسه تحلیلی، ابزاری است كه دكارت به وسیله آن اعداد را به جهان جسمانی نسبت می دهد. تنها با ظهور چنین ابزاری است كه ما توانایی می یابیم تا برای جهان جسمانی پیرامون خود، معادله بنویسیم. دكارت مانند فیثاغورث، هندسه را واسطه ارتباط جهان با اعداد، قرار می دهد. او در دستگاه مختصات هندسی اش، اعداد را با نقطه هایی متساوی الفاصله روی محورهای ممتد، متناظر می كند و جهان را درون این دستگاه قرار می دهد و از طریق تناظری كه برقرار می كند برای هر نقطه از عالم جسمانی، یك زوج ترتیبی از اعداد را درنظر می گیرد.
به این ترتیب، مختصات یكه ای برای هر نقطه پیدامی شود. وقتی این اختراع دكارت را در كنار رأی فلسفی اش قرار می دهیم، در می یابیم كه در نظر وی از آنجا كه جسم بودن، همان ممتدبودن است،۳ تمام جهان جسمانی، قابل تحلیل به وسیله معادلات عددی خواهد بود. ثنویت دكارتی موجب آن می شود كه وی در استفاده از این روش تحلیل جهان مادی كاملاً فارغ البال باشد و حتی در استفاده از آن در توصیف بدن انسان و حركات اجزای آن نیز تردید به خود راه ندهد. چنانكه قصد كرده بود، حركت قلب را با مبادلات گرمایی درآن توضیح دهد. ۴
در اینجا با تصویری از ماشینی كردن تام جهان روبروییم و یقیناً این از توصیف ریاضیاتی جهان به وسیله دكارت ناشی شده است. همین روند و ادامه همین تلاشها است (كما اینكه قبل از دكارت در گالیله و كپرنیك و... این روحیه حكم است) كه منجر به فیزیك نیوتنی و اكنون فیزیك جدید شده است. اما تفاوت دركجاست؟ چرا به نظر می رسد، نزد فیثاغوریان و صوفیان و حكمای متأثر از فیثاغوریان، ریاضیات نوعی آمیزش با عرفان دارد و طبیعت را بالا می برد و نزد دكارت گرایش به ریاضیات جهان را ناسوتی می كند؟ و چرا در افلاطون هردو وجه دیده می شود؟
به نظرمی رسد پاسخ این پرسشها را می بایست در مفهوم معادله جست وجو كرد. فیثاغوریان هرگز معادله ریاضی برای جهان ننوشتند. صوفیه و عرفا و حكمای بعد از آنها نیز. افلاطون نیز گویا چنین است. اما با آنها یك تفاوت كوچك دارد. او می گوید كه می توان نظم اشیاءطبیعی و نیز حركت پیچ در پیچ اجرام آسمانی را به زبان ریاضی آورد. آنچنان كه فیثاغوریان نظم مسموعات و نغمات را به زبان ریاضی برگرداندند (پس معادله نوشته اند!) و واضح است كه نگاشتن نظم طبیعت به زبان ریاضی، چیزی جز معادله نیست (هرچند در شمایل معادلات امروزی نباشد، آنچنان كه از آن دكارت نیز كاملاً امروزی نبود). معادله جهان را توصیف می كند و خبر از چگونگی عالم می دهد، اما نزد فیثاغوریان، اعداد، ماهیت موجوداتند و حقیقت آنان را بیان می كنند. آنها اعداد را «اصل» اشیاء و به طور كلی موجودات می دانستند، (افلاطون نیز تلاش داشت چنین كند) همانگونه كه متفكران ایونی پیش از آنان، آب و هوا و نامتعین و عقل را منشأ هستی شمرده بودند. با این حساب باید گفت فیثاغوریان درباره موسیقی اشتباه می كردند كه گمان می كردند ماهیت عددی آن را كشف كرده اند. (شاید ما هم در اشتباهیم كه گمان می كنیم رابطه عددی و سمعی موسیقی، تنها تناظر است!) ولی به هرطریق، شك نمی توان كرد كه برای آنها آنچه از عدد بیش از هرچیز اهمیت داشته، این بوده كه آنها چیستی موجوداتند. ولی برای دكارت اعداد، ماهیت امتداد نیستند. ما تنها اعداد را با امتداد متناظر می كنیم تا بتوانیم برای حركات و سكنات جسمانی معادله بنویسم.
افلاطون نیز، هم از چگونگی سخن گفته و هم از چیستی و می خواسته هردو را با ریاضیات پاسخ دهد. اولی به نظر ماشینی كردن جهان می رسد و دومی اعتلا دادن آن.
سخن دقیقتر در این باب را باید اینگونه بیان كرد كه همه چیز در عطف توجه به چگونگی در جهان و در آوردن آن به هیأت ریاضیات نیست كه دیدگاه طبیعیات جدید را ناسوتی كرده است. درحقیقت مسأله اصلی، تبدیل جهان و كل موجودات به واقعیت است. مراد ازواقعیت، همین جهان محسوسی است كه نزدیك دستان ماست. وقتی سؤال از ماهیت را حذف كنیم و یا پاسخ آن را به خاصیتی واقعی حواله دهیم، چنین اتفاقی می افتد. در این صورت ورای واقعیت، هیچ باطنی نخواهدبود و واقعیت، به خودی خود، قابل توصیف و تحلیل است. (این مقام از آنچه افلاطون در آن اندیشه می كرد، به كلی دور است). این مهم را دكارت از طریق حواله دادن ماهیت جسم به امری واقعی یعنی امتداد انجام داد، هرچند برخی معتقدند كه دكارت امتداد را جوهر جسم نمی دانست بلكه آن را صفت اساسی آن تصور می كرد. این درست نقطه مقابل تفكر ایونی و بخصوص فیثاغوری (و همچنین افلاطونی) است. فیثاغوریان در پشت دنیای محسوس، درپی حقیقتی بودند كه آن را در اعداد جستند.
حركت دیگری كه به این واقعی كردن جهان مدد می رسانید، واقعی كردن ازطریق مفهوم جرم بود. طرح هندسی دكارت برای توصیف عالم ناكام ماند (او در حقیقت با تصور ممتد به عنوان جسم، مكان را با جسم یكی فرض كرد و شاید این یكی از دلایلی باشد كه او تمام جهان را پرمی داند)، ۵ زیرا مفهوم حركت نیز كه او علاوه بر امتداد برای ماده فرض كرده بود هنوز كافی نبود.
سالیانی پس از دكارت، نیوتن بود كه نخست بار توانست آنچه در دل دكارت می گذشت را به واقعیت فراخواند. او برای این كار به مفهوم جرم و نیرو نیاز داشت، اما جرم را وی جوهری ورای دریافت محسوس ما اعلام نكرد، بلكه آن را برحسب كیفیات آشنای آن روزگار تبیین نمود (نخستین بار آن را برحسب چگالی و وزن بیان كرد). ۶ حتی آغاز پروژه نسبیت انیشتین را باید در شكست برنامه دكارت برای تحلیل همه چیز عالم جسمانی به امر ممتد جست وجو كرد، چه انیشتین فقط فرض كرد كه نور برای انتشارش نیاز به هیچ محیط مادی ای ندارد. ازجمله « اتر » كه دكارت، نیوتن و فیزیكدانان زمان انیشتین عدم وجود آن را اساساً نمی توانستند تصور كنند. اتر همان ماده لطیفی است كه تمام جهان را پركرده است. به این ترتیب می توان دید كه درحالی كه صوفیه، عرفا و حكما چه در قرون وسطی و چه در زمان یونان باستان در پی چیستی جهان بوده اند (ازجمله فیثاغوریان) عالمان علوم تجربی جدید پس از «رنسانس» درپی بیانی از جهان بودند كه «محاسبه پذیر» باشد.
از این جهت می توان دریافت كه تكنولوژیك بودن، ذات و فصل علوم جدید است، برخلاف آنكه گمان می رود كه «تكنولوژی» تنها كاربرد فرعی علومی است كه معطوف به حقیقتند.

نمونه تدريس ریاضی ( ایفای نقش و فعال )

نمايش جمع و تفريق متناظر :

عدد  5 = 7 - 12               12 =  7 +  5 

بچه مرشد :  مرشد ]با صداي بلند [

مرشد : جان مرشد ، چيه بچه مرشد ] با صداي بلند [

بچه مرشد : بيا كه جمع جَمعه  و همه حاضرند  و از اين بهتر نمي شه .

مرشد : صبر كن با هم برويم ] با تق تق وارد كلاس مي شوند [

بچه مرشد : مرشد جان اگر اجازه بدهي بساط و پهن كنم و تو هم يك نمايش براي بچه ها بدهي

مرشد : خوب گفتي آفرين به هوشت . خوب گوش كن . نمايش بي دستمزد نمي شه اول از بچه ها بخواه تا ما را خبر كنند .  بعد شروع كنيم .

بچه مرشد : خوب بچه ها شنيديد . حالا هر كس به قدر همتش اين مرشد و
بچه مرشد رو كمك كنه .

دانش آموزان نشسته : چندتن حركت مي كنند و تعدادي سكه در داخل كشكول مرشد مي اندازند كه جمع تعداد سكه ها 12  تاست و سكه هاي زرد  7  تا و سكه هاي  سفيد 5 تا خواهد بود .

مرشد : خوب بچه  مرشد مثل اينكه كافيه برويم سر اصل موضوع . ] با نگاه در داخل كشكول مي گويد [ . بچه مرشد من داخل كشكول را كه نگاه كردم تعدادي از سكه ها سفيد و تعدادي زرد بودند . همه را كه شمردم از تعداد انگشتان دو دست تو ، دو سكه بيشتر بود .هفت تا از سكه ها زرد هستند ، مي خواهم ببينم مي تواني بگوئي سكه هاي سفيد چند تا هستند .

بچه مرشد : فهميدم ] در حاليكه نگاه به انگشتان دو دست و سپس نگاه به انگشتان يك دست خود ميكند [ ميگويد فهميدم اما اگر اجازه بدهي من يك شعر براي بچه ها مي خوانم اگر اونا خوب گوش كنند مي توانند از روي تعداد طوطي هايي كه من در باغ پسته ديدم به جمع سكه ها و از اتفاقاتي كه افتاده به تعداد بقيه سؤال شما پي ببرند .

مرشد : آفرين بچه مرشد  مي دونستم آبروي مرشد را حفظ مي كني . بخوان بچه مرشد  .
] با صداي بلند [

رفتم به باغ پسته                                        ديدم 12 طوطي       

روي درخت نشسته                                       با عجله دويدم      

وقتي نزديك رسيدم                                       ديدم  7  تا پريدند

 پرسيدم از طوطيا                                        بقيه ها چي شدند

گفتند وقتي دويدي                                       آنها خيلي ترسيدند      

                             پشت درخت پريدند

معلم : در اين موقع از يكي از بچه ها مي خواهد تا پاي تابلو بيايد و تفريق مربوط به شعر را پاي تخته بنويسد .                            5 =  7  -  12 

و سپس روبه مرشد مي كند و مي گويد : خوب آقا مرشد ، از شما ممنونيم  ، اما از شما مي خواهيم تا براي بچه هاي كلاس ، يك شعر بخوانيد اما اين شعر يك شرط دارد آنهم اينكه بايد شعري را بخواني كه شكل آن جمع باشد كه نظير تفريق بچه مرشد بشود .

مرشد : ما هم از شما كه ما را در جمع كلاس پذيرفتيد تشكر مي كنيم و چشم :

5  تـا  گنجشـك  خـستـه                   روي درخـت نـشـسته

نو كاشون  ببين  چه تيزه                    پاهاشون ببين چه ريزه

هفـت  تا  ديـگه  رسيدند                    كنـار شـون نـشـستـند

با هم ميخواند آب بخورند                     بـالا بـرند تاب بخورند    

خداكنه شكارچي هيچ كدومه نبينه            انشاء ا... چشاش كور بشه هيچ كدومه نگيره

                                  12 =  7  +  5 

روش تدريس رياضي (ایفای نقش)

در اينجا به عنوان نمونه دو تا از نمايشهايي را كه در آنها مفاهيم رياضي گنجانده شده و مي تواند مورد استفاده معلمين و اولياي محترم قرار گيرد ، ذكر مي گردد .

1ـ نمايش تفريقهاي با انتقال :

مانند :                             235 

                                      157 -

مردي وارد كلاس مي شود : سلام ، بچه ها اسم من يكي است ، من يك خونه در جدول ( مكاني ) دارم ، آن خونه ، خونه يكي هاست ، بچه ها من هميشه يك رقم هستم . اگر يه وقتي تعداد من زياد بشه كه به  10  برسم  يا  از  10  بيشتر  بشم ،

در اين موقع مرد دوم وارد مي شود . سلام بچه ها ، آنوقت ديگر من مي آيم ، اسم من ده تايي است ، من در همسايگي يكي هستم  . اين همسايه من پسر من نيز هست ، بچه ها پسرم راست ميگه ، وقتيكه تعدادش آنقدر بشه كه به  10   يا بيشتر از  10   برسه اونوقت ديگه نمي تونه در خونه خودش جابگيرد . من ميام و كمكش مي كنم و آنچه را كه نمي تونه نگه داره با خودم به خونه خودم ميارم . خوب بچه ها من يك فرقي با پسرم دارم و اون اينكه پسرم يكي يكي زياد مي شه ولي من ده تا  ده تا زياد مي شوم . از طرفي شبيه به اون هم هستم اگر تعداد من به  ده يا بيشتر از  ده  برسد در اينصورت .

مرد سوم وارد مي شود : سلام بچه ها، اونوقت من مي آيم ، بچه ها اسم من صدتايي است . من در همسايگي ده تايي و يكي هستم ، ده تايي پسرم است و يكي، نوه ام . در اين خانواده كه شما مي بينيد دو پدرند و دو پسر ، اما سه نفريم .

خوب بچه ها پسرم راست ميگه ، وقتيكه تعدادش آنقدر بشه كه به ده برسد يا بيشتر از ده بشه ديگه در خونه خودش جا نمي گيره ، من مي آيم و كمكش مي كنم و آنچه نمي تونه نگه داره با خودم به خونه ام مي آرم . راستي بچه ها تا يادم نرفته يه داستاني برايتان تعريف كنم ، يكي از روزهاي گرم تابستان ما سه نفري تصميم گرفتيم به مسافرت برويم ، هوا خيلي گرم بود ، وقتي با هم مشورت كرديم قرار شد تا به كنار دريا برويم ، رفتيم بليط بگيريم ، آقاي بليط فروش گفت : قيمت بليط براي شما سه نفري  157 ريال مي شه اول قرار شد كه هر كدام از ما همان پولي را كه مربوط به خونه ما مي شه پرداخت كنيم ، لذا هر كدام از ما پولهاي جيبمان را بيرون آورديم :

يكي مي گويد :     من  5 ريالي داشتم .

ده تايي مي گويد:      من   30 ريالي داشتم .

صدتايي مي گويد :    من  200  ريالي داشتم .

وقتي كنار هم گذاشتيم :                235 

آنوقت پول بليط را زير آن نوشتيم :     157  -

يكي : من نمي تونم 7 ريال رو بدم  چون 5  ريال دارم .

ده تايي : ولي پسر جان غصه نخور ، من كمكت مي كنم يك ده تايي به شما مي دهم ، بيا ده ريال و حالا من هم نمي تونم  50 ريال رو بدم چون بيست ريال دارم .

صدتايي : غصه نخور پسرم ، من كمكت مي كنم يك صدتايي به شما مي دهم ، بيا اين 100 ريال خوب بچه ها ما با اين كمكهايي به هم كرديم تونستيم پول بليط رو بديم و يك ساعت بعد هم به مسافرت برويم .

معلم : سعي مي كند با طرح سؤالهاي مناسب مثلا"اينكه سه نفري چقدر پول داشتند ؟
قيمت بليط چقدر بود ؟ چقدر ديگر كم داشتند تا پول بليط بدست آيد ؟ چگونه پول بليط را جور كردند ؟  تدريس را ادامه مي دهد و كلاس را جذاب مي نمايد .

تحقيقات

    اساس پيشرفت در هر كاري انجام تحقيقات گسترده است. در رياضيات هم تحقيقات حرف اول را در پيشرفت مي‌زند. اما تحقيق چيست؟ و چگونه ميتوان يك تحقيق موفق را به انجام رساند؟

    آنچه كه در حال حاضر تحقيق ناميده مي‌شود عبارت است از كشف مطالب جديد با استفاده از روش‌هاي مدون و اطلاعات قبلي. در رياضيات هم تحقيق يعني كشف قضايا و نتايج جديد با استفاده از روش‌هاي منطقي و اطلاعات و قضاياي قبلي يعني اينكه با روش‌هاي منطقي و قضايا و فرمول‌ها و نتايج موجود و حتي با تعاريف جديد به قضايا و فرمول‌هاي جديدي دست پيدا كنيم. البته مي‌دانيد كه هر تحقيقي براي موضوع خاصي انجام مي‌شود. در رياضيات هم تحقيقات اغلب منجر به كشف مطالب جديد در رابطه با موضوع تحقيق مي‌شود.

    اما چگونه مي‌توان يك تحقيقي موفق در رياضيات انجام داد؟ به عبارت ديگر چگونه مي‌توان مطالب جديد در رياضيات كشف كرد؟ آنچه از تجربيات دانشمندان رياضي و محققين اين رشته برمي‌آيد در موارد ذيل طبقه‌بندي مي‌شود:

1) تعميم مطالب موجود: اين روش قدرتمندترين روش تحقيق در رياضي مي‌باشد. در اين روش با تعميم يك فرمول يا قضيه، فرمول يا قضية كلي‌تري بدست مي‌آيد و اين روند ادامه مي‌يابد تا به يك نتيجة قابل توجه برسد. بطور مثال اعداد طبيعي را در نظر بگيريد؛ اعداد متشكل از زماني كه عمل تفريق در اعدد طبيعي تعريف شد مشكلي كه بوجود آمد اين بود كه مثلاً جواب جزو اعداد طبيعي نبود به عبارت ديگر اعداد طبيعي، اعداد منفي را شامل نمي‌شد. به همين جهت يك تعميم بر اعداد طبيعي زده شد و اعداد صحيح متشكل از بوجود آمد. پس از آن زماني كه عمل تقسيم در اعداد صحيح بكار گرفته شد مثلاً در اعداد صحيح جواب نداشت؛ كه با تعميم اعداد صحيح، اعداد گويا متولد شد و به همين ترتيب عمل جذر منجر به پيدايش اعداد اصم و سپس اعدا حقيقي گرديد و سرانجام جواب معادلة  منجر به تعميم اعداد حقيقي به اعداد مختلط گرديد. ما نيز مي‌توانيم از اين روش استفاده كنيم، بدين ترتيب كه اگر در فرمولي مثلاً عدد بود بجاي آن بطور كلي  را در نظر بگيريم و فرمول مورد نظر را تعميم دهيم. (اين روش بعداً بيشتر توضيح داده خواهد شد.)

2)  بررسي يك موضوع رياضي در شاخه‌اي غير از شاخة اصلي: در اين روش رياضيدانان مسئله‌اي را براي حل به شاخه‌هاي مختلف مي‌برند و در آن شاخه بررسي مي‌كنند تا به جواب برسند. اين روش، روشي نوين در تحقيقات رياضي است. بطور مثال مي‌توان يك مسئله يا قضيه در شاخة گراف را در شاخة جبرخطي مورد بررسي قرار دهيم؛ به اين ترتيب كه گراف را به صورت ماتريس درآورده و ماتريس معادل را در جبرخطي بررسي كنيم. بازدهي اين روش بسيار بالاست ولي به علت نو بودن، بطور وسيع استفاده نشده است. ما نيز مي‌توانيم از اين روش در تحقيقات خود استفاده كنيم.

3) يافتن موضوعات جديد در رشته‌هاي ديگر علمي: بنا به شواهد تاريخي، بسياري از مباحث رياضي ناشي از نياز ديگر رشته‌ها به مطلب مورد نظر بوده است. به عنوان مثال شاخة ديفرانسيل و انتگرال ناشي از نياز فيزيك مكانيك (مبحث حركت) به اين شاخه بوده كه توسط نيوتن به صورت كاربردي پايه‌ريزي شده است.

4) خلاقيت‌هاي فردي: اين روش تحقيق بطور قوي براي همگان ميسر نيست؛ چرا كه قدرت خلاقيت هر فردي با ديگري متفاوت است اما در سطوح مختلف براي همه ميسر است. در اين روش رياضيدانان با استفاده از قدرت تخيل خود مبادرت به كشف راه حل‌هاي جديد مي‌كنند كه ديگران به آن دست نيافته‌اند يا آن را تا انتها نرفته‌اند. لازم به ذكر است كه اين روش جالب‌ترين روش در تحقيقات رياضي مي‌باشد چرا كه با ارائة راه حل‌هاي جديد بر يك مسئله ديدگاههاي جديدي بر همگان مي‌گشايد. بطور مثال قضاياي آناليز رياضي مانند قضية «هاينه‌بورل» يا «بولتسانووايرشتراس» با عث ايجاد روش‌هاي جديد در اثبات قضاياي آناليز رياضي گرديده است. لازم به ذكر است كه قدرت خلاقيت و تخيل هر كسي قابل تقويت تا بي‌نهايت است و شيوة تقويت اين استعدادها نيز بسيار گسترده است. به عنوان مثال بكارگيري روش اول (تعميم مطالب موجود) باعث تقويت قدرت تخيل به ميزان زياد مي‌شود. خلاقيت هم در نتيجة تقويت قدرت تخيل حاصل مي شود حتي بعضي از روانشناسان معتقدند عبادت و راز و نياز باعث تقويت اين نيرو در انسان مي‌شود.

5) تشكيل گروههاي علمي: تجربه در دنيا نشان داده است كه تحقيقات موفق و گسترده ناشي از وجود يك گروه علمي شايسته و فعال در انجام تحقيقات بوده است. هرچند در رياضيات مي‌توان بطور فردي تحقيقات گسترده‌اي انجام داد ولي تشكيل گروههاي علمي روند تحقيقات را تسريع مي‌بخشد. مي‌توان يك گروه رياضي تشكيل داد و براي شروع كار اقدام به حل مسائل كتب درسي و غير درسي نمود و باعث تقويت نيروي لازم براي تحقيق در تمام اعضاي گروه شد. براي شروع كار نيازي نيست كه موضوع كار گروه يك تحقيق جامع باشد بلكه بهتر است ابتدا با موضوعات ساده مانند بررسي يك قضية ساده يا يك مسئله داخل كتاب شروع كرد و كم كم مسائل سخت‌تر و قضاياي پيچيده‌تر را بررسي كرد و سرانجام تحقيقات گسترده را پايه‌ريزي نمود. اين روش در دانشگاهها به علت وجود حس دوستي بين دانشجويان به سادگي قابل اجرا است.

6) كنجكاوي در هر موضوعي: اگر حس كنجكاوي را تقويت كنيم و ساده از كنار هر موضوعي نگذريم مي‌توانيم همانند نيوتن كه با افتادن سيب جاذبه را كشف كرد، قوانين و قضاياي جديد را كشف كنيم. اين روش بسيار مورد استفادة دانشمندان جهان بويژه دانشمندان اسلامي قرار گرفته است. بوعلي‌سينا نمونة بارز اين موضوع است كه با كنجكاوي زياد خود موفق به كشف داروهاي بسياري در طب و پايه‌گذاري فلسفة بوعلي‌سينا گرديد.

    در پايان ذكر اين نكته ضروري به نظر مي‌رسد كه در هر كاري صبر، حوصله، پشتكار و تلاش براي رسيدن به موفقيت حرف اول را مي‌زند. در تحقيقات رياضي نيز اين موارد به اضافه تفكر به ميزان زياد براي رسيدن به هدف اساسي به نظر مي‌رسد. برنامه‌ريزي دقيق در تحقيقات رياضي امري لازم است؛ چرا كه اگر يك برنامة دقيق در خصوص تقسيم‌بندي ساعات شبانه‌روز براي امر تحقيقات و استفاده بهينه از امكانات موجود باشد موفقيت حتمي است. زياد فكر كردن بدون برنامه‌ نتيجه‌اي جز خستگي رواني نخواهد داشت ولي اگر طوري برنامه‌ريزي كنيم كه ساعات مشخصي را به تحقيق اختصاص دهيم و ساعاتي را به امور روزمره ديگر، بازدهي كار بهتر است. آنچه از تجربه برمي‌آيد اين است كه اگر نسبت به يك مسئلة رياضي قبل از ساعت خواب تفكري عميق داشته باشيم احتمال پيدا كردن جواب در خواب يا روز بعد زياد است ولي در عوض بهم‌ريختگي الگوي خواب را در پي دارد. حال اگر در ساعات اول صبح تفكري عميق به مسئلة مورد نظر داشته باشيم نه تنها باعث كشف جواب مي‌شود (در خواب يا بيداري) بلكه ساعت زيستي بدن و الگوي خواب نيز حفظ مي‌شود. توصيه مي‌شود در صورت امكان حداقل يك ساعت قبل از خواب شبانه به مسئلة رياضي فكر نكنيد تا در استراحتتان خللي وارد نشود و صبح روز بعد شاداب و سرحال باشيد. سعي كنيد صبح زود يا در بين ساعات روز روي مسئلة مورد نظر بينديشيد. داشتن كاري غير مرتبط با رياضيات در طول روز بسيار مفيد خواهد بود؛ چرا كه به شما اين امكان را مي‌دهد كه از تمام قواي ذهني خود استفاده كنيد در عين اينكه سرحالي و نشاط را به دنبال دارد.